Cho hàm số y = lnx/x, việc xác định mệnh đề nào đúng đòi hỏi chúng ta phải phân tích kỹ lưỡng hàm số này. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khía cạnh của hàm số, từ tập xác định, đạo hàm, đến các điểm cực trị và tính đơn điệu để tìm ra lời giải đáp chính xác.
Tập Xác Định của Hàm Số y = lnx/x
Hàm số y = lnx/x được xác định khi x thuộc tập số thực dương, tức là x > 0. Điều này xuất phát từ việc hàm số logarit tự nhiên lnx chỉ được xác định với x dương.
Đạo Hàm và Điểm Cực Trị của Hàm Số y = lnx/x
Để tìm điểm cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số:
y’ = (x(1/x) – lnx)/x² = (1 – lnx)/x²
Nghiệm của phương trình y’ = 0 là lnx = 1, tức là x = e.
- Khi 0 < x < e, ta có y’ > 0, hàm số đồng biến.
- Khi x > e, ta có y’ < 0, hàm số nghịch biến.
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = e, với giá trị cực đại là y(e) = 1/e.
Phân tích Chi Tiết các Mệnh Đề về Hàm Số y = lnx/x
Giả sử chúng ta có một số mệnh đề về hàm số y = lnx/x. Việc xác định mệnh đề nào đúng phụ thuộc vào nội dung cụ thể của từng mệnh đề. Chúng ta cần kiểm tra từng mệnh đề dựa trên những phân tích về tập xác định, đạo hàm, điểm cực trị và tính đơn điệu của hàm số. Ví dụ:
- Mệnh đề 1: Hàm số đồng biến trên khoảng (0, e). (Đúng)
- Mệnh đề 2: Hàm số đạt cực tiểu tại x = e. (Sai)
- Mệnh đề 3: Hàm số có giá trị cực đại là 1/e. (Đúng)
Ứng Dụng của Hàm Số y = lnx/x
Mặc dù có vẻ trừu tượng, hàm số y = lnx/x có ứng dụng trong một số lĩnh vực như tối ưu hóa và mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên.
Ví dụ về tối ưu hóa
Trong một số bài toán tối ưu hóa liên quan đến tỷ lệ giữa logarit của một biến số và chính biến số đó, hàm số y = lnx/x có thể xuất hiện.
Kết luận
Cho hàm số y = lnx/x, việc xác định mệnh đề nào đúng yêu cầu phân tích chi tiết về tập xác định, đạo hàm, điểm cực trị, và tính đơn điệu. Hàm số đạt cực đại tại x = e với giá trị 1/e và đồng biến trên khoảng (0, e). Hiểu rõ các đặc điểm này giúp chúng ta vận dụng hàm số một cách hiệu quả trong các bài toán và ứng dụng thực tế.
FAQ
- Tập xác định của hàm số y = lnx/x là gì? Tập xác định là (0, +∞).
- Hàm số y = lnx/x đạt cực trị tại điểm nào? Đạt cực đại tại x = e.
- Giá trị cực đại của hàm số y = lnx/x là bao nhiêu? Giá trị cực đại là 1/e.
- Hàm số y = lnx/x đồng biến trên khoảng nào? Đồng biến trên khoảng (0, e).
- Hàm số y = lnx/x nghịch biến trên khoảng nào? Nghịch biến trên khoảng (e, +∞).
- Đạo hàm của hàm số y = lnx/x là gì? Đạo hàm là (1 – lnx)/x².
- Hàm số y = lnx/x có ứng dụng gì trong thực tế? Có ứng dụng trong một số bài toán tối ưu hóa và mô hình hóa.
Gợi ý các câu hỏi khác, bài viết khác có trong web
- Tìm hiểu về hàm số mũ
- Tính đơn điệu của hàm số
- Ứng dụng của đạo hàm
Khi cần hỗ trợ hãy liên hệ
Email: Contact@Jsoldiers.com, địa chỉ: Phố Đặng Thái Thân, Quận Hoàn Kiếm, Hà Nội, Việt Nam. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.
